teorema 5

TEOREMA 5 

DEMOSTRAR: 

AM = BM

Arco AQ  = arco BQ  ; arco AP = arco BP

DEMOSTRACION:

OM  = OM     Y     OA = OP
 TRIANGULO AMO = BMO
AM = BM      Y    <AOQ  =  <BOQ
<AOP  =  <BOP
Entonces arco AQ  = arco BQ  ; arco AP = arco BP

TEOREMA 4

TEROEMA 4

DEMOSTRAR:

Arco AB = Arco A'B'

Arco AF > Arco A'B'

Tracese BA, OB, OF , O'A', O'B'

OA     =   O'A'    Y    OB  =  O'B'

Cuerda AB = A'B'

TRIANGULO   OAB = O'A'B'

ANGULO AOB = A'O'B'

ENTONCES   Arco AB = Arco A'B'   LQQD

OA     =   O'A'        Y     OF= O'B'

Cuerda  AF > A'B'

<AOF  >   <A'O'B'

ENTONCES     Arco AF > Arco A'B'      LQQD

Teoremas del circulo

Teorema 1

En un mismo circulo o en circulos  iguales , ángulos centrales iguales interceptan arcos iguales; y el mayor de dos ángulos desiguales interceptan mayor arco.

Demostrar:

                                  arco AB = A´B´

                                  Arco AC mayor que arco A´B´

 Por superposción el angulo AOB coincide con el A´O´B´

Por superposición los radios son iguales

A caerá en A´ y B en B´por lo tanto el arco AB coincide en A´B´ por definición de circulo.

                  ángulo AOC será mayor  A´O´B´ por hipotesis

                  ángulo AOB=  A´O´B´ por hipotesis

Por lo tanto  AOC es mayor que AOB por axioma 8

Por lo tanto OC fuera  en ángulo AOB

El arco  AC  es maoyr que el AB  por que el todo es mayor a la suma de sus partes.

                  por lo tanto : AB= A´B´

                                      AC mayor que arco A´B´

Teorema 2: 
En un mismo circulos o circulos iguales arcos iguales se obtienen mayor  ángulo central que el menor.

  Demostrar que: ángulo AOB = A´O´B´

                          ángulo AOC mayor que A´O´B´

 Por superposición coincide  OA en O´A´

                                            Ab en A´B´

POr lo tanto OB coincidira en O´B´ pos postulado

                             ángulo AOB = A´O´B´ por superposición

                             ángulo AOC = AOB por que el todo es igual a la suma de sus partes.

Tenemos que el ángulo AOC es mayor que A´O´B´ por axioma 8.

Teorema 3: 

En un mismo circulo o en circulos iguales , arcos iguales son subtenidos por cuerdad iguales, y el mayor de los arcos desiguales es subtenido por mayor cuerda.

Demostrar : Cuerda AB = Cuerda  A´B´

                      Cuerda AF = Cuerda A´B´

Traze OA , OE ,OF en un mismo circulo.

          O,O´,A´O´, B´ en el centro  O´

            OA= OA´

            OB = O´B´  Por igualdad de radios 

ángulo AOB = A´O´B´ por teorema 2 de circulos

Por lo tanto  el triangulo AOB= A´O´B´ por teorema dos de triángulos.

Cuerdas  AB = A´B´ por partes homólogas.

Por lo tanto el triángulo OAF y el O´A´B´

                                         AO= O´A´

                                         OF = O´B´ por igualdad de radios.

          ángulo AOF es mayor que el A´O´B´ por teormea 2 del circulo.

Por lo tanto la cuerda F´ es mayor que A´B´ por teorema 23 de triangulos.                             

                                        

teoremas 3ra parte

 

TEOREMA 22

TEOREMA 22

SEA ABC untriangulo en que A es mayor que B
Demostrar que: BC > CA
Demostracion: El lado BC  tiene que ser o igual a AC o mayor o menor que CA

Si BC fuera igual a CA,

los angulos A y Bserian iguales

( N 74 )

Si CA fuera mayor que BC,

El <B seria mayor que el <A

( N 113 )

Pero decir que CA no es mayor que BC es lo mismo que decir que BC no es menor que CA

Ahora bien, la igualdad 

<A = <B

y la desigualdad 

<A < <B

son contrarias al supuesto de que el angulo A es mayor que el B.

puesto que BC  no puede igual a CA ni menor CA, siguese necesariamente que 

BC > CA

lqqd

teorema 21

TEOREMA 21

SEA ABC untriangulo en que BC es mayor que CA
Demostrar que: <BAC > B
Demostracion: Hagase CX = CA                       
Tracese  XA
El triangulo ACX es isoceles;                                      n 62
Entonces                       <CXA =      < XAC               n 74
Ahora bien                    <CXA     >    <B                    n 111
Tambien se tiene          < BAC     >    <XAC              n 52,1
Reemplazando en esta desigualdad  <XAC por su igual <CXA, resulta

<BAC > <CXA  

<BAC > <CXA

<CXA > <B

<BAC > <B                    

 POR (n 52,1)    lqqd

teorema 20

TEOREMA 20

SEA AB el lado mayor del triangulo ABC
Demostrar que: BC + CA > AB, y AB - BC < CA.
Demostracion: BC + CA > AB                        N 53,3
Da la desigualdad BC + CA > AB 
se deduce CA > AB - BC                                 N 52,4
AB - BC < CA.                                                                          lqqd

teorema 19

TEOREMA 19

SEA ABC un triangulo cualquiera
Demostrar que: <A + <B + <C = 2rt

Demostracion:Traces BY paralelo a AC, y prolonguese AB hasta X.
<XBY + <YBC + <CBA = 2rt           n 34
Tambien, <A = <XBY                        n 102
y ademas  <C = <YBC                       n 100
Entonces <A + <B + <C = 2rt           lqqd

teorema 18

TEOREMA 18

SEA AB, CD dos rectas paralelas cortadas por la transversal XY en los puntos P y Q respectivamente. 
Demostrar que: <BPX = <DQX

Demostracion: <BPX = <APQ                n 60
y tambien          <APQ = <DQX               n 100
Entonces  <BPX = <DQX      ( n 52,7)     lqqd

teorema 17

TEOREMA 17

SEA AB, CD dos rectas paralelas cortadas por la transversal XY en donde se forman los angulos alternos internos iguales APQ, DQP.
Demostrar que: AB es paralela a CD

Demostracion: Puesto que no se sabe aún si AB es paralela a CD, supongamos que MN es la recta que pasa por P y es paralela a CD.
Demostremos ahora que AB coinide con MN
En primer lugar angulo MPQ = angulo DQP       n 100
< APQ = < DQP                 por hipotesis 
Entonces < APQ = < MPQ           n52,7
Entonces AB y MN Deben coincidir        n  23
Sabemos que        MN es paralelo a CD        por hipotesis 
Entonces AB, que coincide con MN, es paralelo a CD      lqqd

teorema 16

TEOREMA 16

SEA AB, CD dos rectas paralelas cortadas por la transversal XY en los puntos P y Q respectivamente.

Demostrar que: Angulo APQ = DQP

Demostracion: Por O, punto medio de PQ tracese la recta MN perpendicular a CD
MN es perpendicular a AB    n 97
Ahora bien los triangulos PMO y QNO son rectangulos    n 63
Tambien se tiene: angulo POM = QON     n 60
OP = OQ                   por hipotesis
Entonces triangulo PMO = triangulo QNO       n 91
Entonces angulo APQ = angulo DQP     lqqd

teorema 15

TEOREMA 15

SEA AB, CD dos rectas paralelas y recta XY una perpendicular a AB
Sea P el punto de intersecion de CD y XY.

Demostrar que: XY es perpendicular a CD.

Demostracion: Supongas que por el punto P se traza MN perpendicular a XY 
MN debe se r paralelo a AB     n 95
CD es paralelo a AB   por hipótesis
Entonces CD y MN deben coincidir    n 94
Ahora bien, XY es perpendicular a MN    por hipotesis
Entonces XY es perpendicular a CD  lqqd

teorema 14

TEOREMA 14

SEA AB, CD dos rectas perpendiculares a otra recta XY 

Demostrar que: AB y CD no pueden encontrarse por mas que se prolonguen.

Demostracion: Si AB y CD prolongadas pudieran encontrarse en un punto se tendrian dos perpendiculares bajadas de un mismo punto a una recta lo cual es imposible (n 82)


Entonces AB y CD prolongadas no pueden encontrarse.

TEOREMA 13

SEA ABC, A'B'C' dos triangulos rectangulos en los que las hipotenusa AC es igual a la hipotenusa A'C' y el angulo A es igual al anugulo A'.

Demostrar que: los dos triangulos son iguales

Demostracion: Coloquese el triangulo ABC sobre el triangulo A'B'C' de suerte que el angulo A caiga sobre  el angulo A' y AC tome la direccion de A'C'.

Entonces C caera sobe la C'       
Entonces AB tomara la direccion de A'B'.
Puesto que C coincide con C'                
Y los angulos B y B' son rectos
CB coincidira con C'B'                                                N 82          

Triangulo ABC= triangulo A'B'C'                               N 16

lqqd

teoremas 2 da parte

TEOREMA 12

SEA AB, A'B'C' dos triangulos rectangulos tales que la hipotenusa AC es igual a la hipotenusa A'C' y el cateto BC al cateto B'C'.

Demostrar que: los dos triangulos son iguales

Demostracion: Coloquese el triangulo ABC al lado del triangulo A'B'C' de suerte que BC caiga sobre  B'C' y A y A'queden en lados opuestos de  B'C' 

entonces BA caera sobe la prolongacion de A'B'       N 43

Se tiene ademas AC' = A'C'                                     

entonces AB'=A'B'                                                      N 85

Triangulo ABC= triangulo A'B'C'                               N 80

lqqd